【摘 要】本文在应用R/S及多重分形谱方法分别对海峡两岸四个股票市场（香港，台湾，上海及深圳）指数日收益率数据进行分析的基础上，提出了一种结合单分形结构分析及多重分形结构分析的风险衡量指标FR。分形风险指标FR不仅考虑了时间序列的长期记忆性，也将时间序列的一些局部非线性特征考虑在内。本文还将此指标应用于四个市场的比较分析，推断出分形风险与有效市场的正相关关系。
【关键词】R/S分析方法 多重分形谱 分形风险
1 引言
金融市场是一国经济运行的核心，防范金融风险，维护金融市场的稳定，保持金融市场的应有活力是各国政府与投资机构的重要目标。经典的风险管理手段，如方差VaR技术等，大多局限在随机游走与正态分布的市场假设情形下才有效。但是，20世纪70年代以后，世界金融市场不断出现的种种异常对正态分布的市场假设提出了严峻的挑战。实际研究的结果表明（Peters，1994，1996Mandelbrot，1982）金融市场是一个有偏的随机游走系统，股价行为不服从随机游走与独立性假定。1997年分形理论创始人Mandelbrot撰文提出了多重分形理论后，多重分形特征被认为是继混沌和分形之后，金融市场所具有的又一重要的非线性特征，文献[1，2，6]验证了中国股票市场的多标度分形特征。因此经典的风险管理技术不能准确衡量金融市场的真实风险水平，其假设的市场条件偏离了金融市场的复杂性与非线性本质。
开展相应的金融风险管理工作的重要前提是一个准确、有效的风险测度指标的建立，已有学者在这种新的视角下提出了一些相应的指标。李红权（2005）从金融市场的复杂性及非线性本质出发，提出了风险度向量方法。魏宇（2003）首次提出了运用多标度分形理论进行金融风险管理的研究思路。在此基础上于2005年建立了基于多标度分形谱的全新风险测度指标Rf,并对其有效性进行了检验。然而不管是风险度向量指标还是Rf指标，它们只是单一的从单分形分析出发，或者是从多重分形分析出发，并没有将整体与局部结合起来考虑。本文基于此考虑，尝试建立了一个综合市场整体与局部特征的分形风险指标，以期该指标能全面的体现市场风险。
2 分形理论及分析方法介绍
自20世纪90年代以来，非线性动力学、混沌理论、分形理论等非线性科学理论和方法广泛应用于金融市场问题的研究。金融市场本质上是一个非线性的动力系统。因此，利用非线性的理论和方法更能提示金融市场的本质特征，也为金融市场的研究开辟一个新的视野。
2.1单分形分析方法
所谓单分形结构，在指在一定时期内股票收益序列在各个时点上的分形特征都是一样的，也就是说，刻画分形特征的参数不会随着时间的变化而变化。Hurst于1951年首先提出R/S分析方法，后经Mandelbrot和Wallis（1969）等进行一系列的提炼，被称为经典R/S分析方法（Classical Rescaled Range，或称重标极差）。该方法能从分形时间序列中区分出随机序列和非随机序列，辨别出一种介于随机结构与确定结构之间的统计结构。通过经典R/S分析方法计算出的H指数是一个十分强健和有效的统计量，它可用于区分所研究的时间序列是随机序列还是非随机序列，并在此基础可一步判定时间序列是持续性序列，还是反持续性序列，还可用于衡量时间序列的相关性程度。
2.2多重分形分析方法
上述单分形结构探讨的仅仅是一个过程的长期统计行为，只描述收益波动的宏观概貌，并没有考虑考虑该过程在某一时刻的局部特性。我们在做单分形分析时其实做了一个假定，就是整个时期内各个局部的分形特征是一样的，并不会随着时间的变化而变化，但是我们经常遇到的时间序列是具有随着时间变动而变动的奇异性指数的函数或时间序列，我们称之为多重分形。多重分形在简单分形的基础上增加了能描述市场易变性的功能。与常规的统计方法不同，多重分形的方法能将复杂体系分成许多奇异程度不同的区域来研究，从而使我们能分层次地了解复杂体系的内部精细结构和所富含的信息。
多重分形分析方法主要有以下内容，首先计算配分函数，并计算出序列的质量指数ι(q)。其中：
以上分析方法也是本文实证分析过程中所采用的方法。
3 分形风险衡量指标定义
由于单分形指标H只是从期间整体揭示了时间序列的宏观概貌，正如Mandelbrot认为，基于多重分形范畴的多重分形过程可以更为全面地描述价格的波动特征，我们需要借助多重分形指标Δα与Δf来考虑期间时间序列的局部特性。
H指数是一个十分强健和有效的统计量。若H=0.5，则该时间序列为独立同分布的随机序列，对应于传统分析中的布朗运动（随机游走），序列所服从的分布为正态分布；当0＜H≤0.5时，表明该时间序列具有状态持续性，或称长期记忆性（长期相关性），也就是说若时间序列在过去时期是上升（下降），则在将来时期将继续上升（下降）。当0≤H＜0.5时，表明时间序列具有反持续性（或均值回复），也就是说该时间序列在过去的下降趨势意味着将来的上升趋势。
Δα=αmax-αmin表示的是在计算期间价格波动幅度的绝对大小。Δα=αmax-αmin越大（即多重分形谱宽度越大）表明价格走势分布越不均匀，即价格波动的绝对程度大。因此它可以被认为是一种衡量金融资产价格波动绝对幅度的测度指标。由此可以推断，Δα的值越大意味着市场风险也越大。
当Δf=f(αmin)-f(αmax)大于0时，表示收益率在平均值上方运行的时间较长，此时投资者在直觉上认为价格的走势较强；反之亦然。Δf的符号可以反映收益率走势的方向，而Δf的绝对值大小则可以反映收益率走势的强弱，Δf的绝对值越大，价格走势给人的感觉“越强”，也表明期间的收益率分布越不均匀，收益率处于极值的时间越长。因此，它具有测度时间序列波动的相对高低趋势和波动方式的作用。
为了准确刻画金融资产价格波动风险的幅度及方式，有必要系统地考察单分形及多重分形各项指标的综合作用。考虑到这些方面及三个指标各自提供的信息，建立一个衡量分形风险的指标，在该指标中Δf将自身的符号也代入其中，我们定义FR的值越大表示分形风险也越大且Δf不为零。FR的值与Δα的值成正比，与Δf的值和H的值成反比。因为Δα是一个非负数，且H是一个介于0到1之间的数，从而FR的符号取决于Δf的符号。卡尼曼和特维斯基（1979）对人们对于损失厌恶如何反应的研究，证实了人们的损失厌恶倾向会削弱投资者对投资风险和股票未来收益状况的客观判断。因此，我们定义负的FR代表的风险大于正的FR代表的风险。
4 分形风险指标实证检验
在股票投资市场上，综合指数是反映一个市场总体概况的指标，它的变化也是人们普遍关注的。本文以香港恒生指数，台湾加权指数，上证综合指数和深圳成份指数为对象来检验分形风险指标FR的有效性。
4.1研究样本及方法
本文的研究样本为2000年1月5日到2008年3月4日的上证综指，深圳成指，台湾加权及恒生指数的收益率序列数据，分别有1950、1921、2004和2014个观测值。
对于资本市场的原始数据序列，一般存在自相关问题，而对资本市场来说，常用对数收益率为研究对象，即
其中rt表示t时刻的对数收益率，It为t时刻的股价指数。对rt的非线性特征进行分析，本文采用Peters的方法分析单分形结构指数H，上述多重分形结构的分析方法计算出Δα与Δf两个指标。
4.2实证检验结果
运用经典R/S分析方法对上证综指的收益率序列进行分析，得到的最小二乘法拟合图如图1所示，可见线性特征比较明显，相关系数达到0.99，这证实了上海股票市场收益率序列存在着长期记忆性，具有分形特征。其它三个市场的分析结果比较相似，故其图形不一一列出，具体指标见表1。
四个市场收益率序列的nxq(s)~n(s)图形极其相似，以上证综指收益率序列图形为例（图2），可看出无论q取什么值,数据点都似成一条直线,这说明对固定的q值,时间序列具有分形标度特征.另外,对不同的q值,数据点各直线斜率各不相同,这表明该分形时间序列还具有多标度的特性,即具有多重分形特征。而图3中的nFq(s)~n(s)呈现出良好的线性关系，这表明各时间序列都存在长程幂律相关且都存在多重分形特征。以上结果都意味着各时间序列局部结构复杂，多重分形指标能提供单分形指标所不能提供的信息。
由图4可以看出，四个市场f(a)~a图形极其相似，而且f仅在a的一个狭窄区间内分布,这也表明多重分形特征较弱。所有的a的范围都大于0.5,这不但说明了该时间序列具有长记忆性的分形特征,而且还刻画了不同幅度波动下其标度指数有不同的多重分形特征。其各自的多重分形谱指标见表1。表1：海峡两岸各股票市场指标值
将前面所得各指标值计算FR指标（表1）发现风险指标从大到小依次排序为香港、台湾、深圳、上海。这说明这四个市场所具有的分形特征是依次增强的，分形理论的适用程度依次增强。这也与各个市场成熟程度基本对应。
为了进一步检验FR指标的有效性，本文将这种指标分阶段应用于上证综合指数，以2006年为分界点，将实证研究区间划分两个，第一个区间为2000年1月5日到2005年12月31日，第二个区间为2006年1月4日到2008年3月4日，得出的指标如表2：
表2分区间指标值
实证检验得出如下两个结论：1、区间1的FR值小于区间2的FR值，从以上分析中可以理解，随着时间的推移，投资者投资理念更加成熟，市场也趋于成熟，向有效市场迈进，从而分形风险也随之增加。2、整个期间的FR值远远小于各个分区间的FR，这可以理解为分形理论有一个适用的时间范畴，当分析期间过宽时，一些分形特征会逐渐消失，比如长期记忆性，标度不变性，分形市场便向有效市场转化。
5 结论
本文从单分形分析到多重分形分析角度对海峡两岸四个股票市场（香港、台湾、上海、深圳）进行研究，计算出各个代表性指标，分别具有不同程度的分形市场特征，并最终综合整体及局部考虑建立了一个市场分形风险指标，并对该指标进行了一定的理论解释。同时本文还将其运用于海峡两岸四个市场的实证检验，得到了比较好的实证支持，只是这个指标适合相对比较之用，却不能做绝对指标求出风险损失值的大小，这有待进一步的研究改善。
參考文献：
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（作者单位:南京财经大学金融学院）