【摘 要】运用指数平滑预测模型进行时序数据的预测分析时，关于指数平滑系数α最优估计是研究者们长期以来需要解决的关键性问题。本文提出基于非线性最小二乘法的指数平滑系数α选取方法，其核心思想在于根据预测值与实测值之间的拟合误差平方和最小值，利用非线性最小二乘法中具有松弛性质的搜索算法，通过高斯-牛顿迭代程序估计最优指数平滑系数α，使得指数平滑预测模型在预测过程中达到更为精准的预测精度。
【关键词】指数平滑预测模型；平滑系数；非线性最小二乘法
中图分类号： U461.51 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2017）26-0012-002
Based on nonlinear least-squares index smoothing coefficient alpha estimation
HAN Kun
（School of Advanced Manufacturing Engineering，Chongqing University of Posts and Telecommunications，Chongqing，400065，China）
【Abstract】Using exponential smoothing prediction model to predict the time sequence data，optimal
estimation of exponential smoothing coefficient is the key problems researchers have needed to solve.In this paper，an exponential smoothing coefficient alpha selection method based on the nonlinear least squares is proposed，the core idea lies in the minimum sum of squared error between the predicted value and the measured value，using the search algorithm with relaxation property in nonlinear least square method，the optimal smoothness coefficient is determined by the Gaussian-Newton iteration procedure，the prediction accuracy of the exponential smoothing prediction model is achieved in the prediction process.
【Key words】Exponential smoothing prediction model；Smoothing coefficient；Nonlinear least square method
0 引言
Robert G.Brown[1]于1959年在《庫存管理的统计预测》一书中首次提出指数平滑法的概念，且将其常用于生产预测以及中短期经济发展趋势预测中。指数平滑系数α是用指数平滑法计算预测趋势值是否符合实际的关键，因为平滑系数α即代表指数平滑预测模型对时间序列数据变化的反映速度，又决定了预测模型修匀误差的能力；平滑系数α的大小体现了各期观察值在指数平滑值中所占的比重，权衡各期观察值所起的不同影响作用。许多学者提出了各种对于指数平滑系数α的最优估计方法，其原则是使预测值与实测值之间的误差最小[3-4]；本文提出了一种新的基于非线性最小二乘法中具有松弛性质的搜索算法确定平滑系数的最优值。
1 一次指数平滑预测模型简述
1.1 水平型指数平滑预测模型
设水平型时序数据实测值为y1，y2，…，yt-1，yt；按下式计算得到一次指数平滑预测值[5]：
t+1=St（1）=αyt+（1-α）S =α（yt-S ）+S （1）
式中，yt—时间t的实测观察值（t=1，2，…，t）
t+1—时间t+1的预测值（或拟合值）
St（1）—时间t的一次指数平滑值
α—指数平滑系数，且0<α<1
从公式（1）中可以看出，下一期预测值 t+1是根据本期预测误差yt-S 对本期预测值S 的修正而得，α的大小决定了预测模型修正误差的程度。
将式（1）展开[2]：
S =αyt+（1-α）[αyt-1+（1-α）S ]
=αyt+α（1-α）yt-1+（1-α）2S
=αyt+α（1-α）yt-1+…+α（1-α）t-1y1+（1-α）tS
=α∑ （1-α）jyt-j+（1-α）tS （2）
当资料数据足够多，t趋于无穷时，随着t的增大（1-α）t会逐渐趋于零，从而在平滑过程中S 对S 式（2）的变形式为：
S =α∑ （1-α）jyt-j（3）
本文仅探讨一次指数平滑预测过程中平滑系数α最优估计问题，并且所采用的一次指数平滑预测模型要求时序数据符合平稳序列特点，即水平型指数平滑预测模型，后续讨论研究均建立在预测公式（1）的基础上。
2 基于非线性最小二乘法平滑系数α问题
本文运用非线性最小二乘法估计平滑系数α最优值是根据其具有松弛性质的搜索算法，以预测值（指数平滑值）与实测值之间的拟合误差（预测误差）平方和最小值，确定出最优平滑系数α。
假设S0已知，则t-1期指数平滑预测值St-1= t与t期实测值yt之间的拟合误差平方和，其表示形式为：Q=∑ （yi- i）2。
设函数fi（α）=yi- i， （i=2，3，…，t）
根据公式（2）：
fi（α）=yi-Si-1=yi-[α∑ （1-α）jyi-1-j+（1-α）i-1S0]（4）
即，fi（α）是关于α的i-1次多项式函数，以拟合误差平方和最小值确定平滑系数α的问题可以转化成为基于函数fi（α）的非线性最小二乘问题。
F（α）=[f1（α），f2（α），…，ft（α）]T是关于fi（α）的列向量函数；其转化关系表示形式为：
minα∈（0，1）Q=minα∈（0，1）FT（α）F（α）（5）
由于fi（α）在α∈（0，1）上任意阶可导，按向量导数的定义，向量函数F（α）可微，则F（α）的Jacobi矩阵为：
J（α）= … ┇ ？埙 ┇ …
其中，j（α）的第i列（1≤i≤n）表示形式为：
JiT（α）= ， ，…， （7）
对于Q（α）一阶，二阶导数表示形式为：
Q（ ）=JT（α）F（α）（8）
Q（ ）=JT（α）J（α）+W（α）（9）
其中W（α）是一个n×n阶矩阵，其表示形式为：
W（α）=∑ fi（α）fi（ ）（10）
根据非线性最小二乘理论且具有松弛性质的搜索算法，对公式（4）逐次使用一维高斯-牛顿迭代程序步骤如下所示：
首先，定义搜索次序为：ik=k（mod n），k=1，2，…；
1°确定初始近似α0
2°假设αk-1为已知，则αk可按下述高斯-牛顿迭代程序进行计算：
αk=αk-1+ωkp
p =-[J （αk-1）TF（αk-1）/||J （αk-1）|| ]e
ik=k（mod n），k=1，2，…（11）
针对步长因子ωk，其满足：Q（αk） 3°对于某一给定精度ε>0，成立： |Q（αk）-Q（αk-1）|<ε或maxik|J （αk）TF（αk）|<ε 则计算停止， 确定出α的最优估计值。 3 结束语 首先运用一次指数平滑预测模型针对符合平稳序列特点的时序数据进行预测分析时，本文将指数平滑法中对于平滑系数的最优估计转化成为一个非线性最小二乘问题，根据其中具有松弛性质的搜索算法，通过高斯–牛顿迭代程序得到更为精确的平滑系数，帮助实现最佳预测效果。 【参考文献】 [1]王长江.指数平滑法中平滑系数的选择研究[J].中北大學学报：自然科学版，2006，27（6）：558-561. [2]何舒华，何霭琳.指数平滑法初始值计算与平滑系数选取的新方法[J].广州大学学报：自然科学版，2011. [3]韩宗德.论平滑系数的优选[J].统计研究，1993（6）：50-52. [4]单艺斌，金明.关于平滑系数和初始值的确定[J].大连大学学报，1997，7（2）：175-177. [5]张林军，邢晓明.平滑系数的最优估计方法研究[J].西安工业学院学报，1998，18（3）：217. [6]唐炎森.指数平滑预测公式与平滑系数[J].统计与信息论坛，1998（1）：38-43.