摘要：线性规划是运筹学的一个重要分支，在经济、管理等领域有着非常广泛的应用，给出一般线性规划模型的基础上，通过生活中的实际问题，应用LINGO软件进行求解。
关键词：线性规划；LINGO；模型
中图分类号：U443 文献标识码：A 文章编号：1001-828X（2014）012-000-02
线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法，英文缩写LP。它是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。
1939前苏联数学家康拓洛维奇总结了他对生产组织的研究，写出了在生产组织与计划中的数学方法》一书，是线性规划应用与工业生产问题的经典著作。1947年丹齐格提出了单纯形法线形规划形成了独立的分支，50年代后人们对线性规划进行大量的理论研究，并涌现出一大批新的算法。例如，1954年C.莱姆基提出对偶单纯形法，1954年S.加斯和T.萨迪等人解决了线性规划的灵敏度分析和参数规划问题，1956年A.塔克提出互补松弛定理，1960年G.B.丹齐克和P.沃尔夫提出分解算法等。线性规划的研究成果还直接推动了其他数学规划问题包括整数规划、随机规划和非线性规划的算法研究。由于计算机科学与计算机技术的发展，使一些复杂的大型运筹学模型的求解成为可能，极大的推动了运筹学的发展。
运用单纯形法虽然可以给出一般线性规划的最优解，也可以给出某些参数的灵敏度分析，但随着科学、经济的快速发展，大量的用以求解线性规划问题的计算机软件被开发出来。LINGO软件就是其中之一，由美国LINDO系统公司（Lindo System Inc.）推出的，它功能强大，应用广。将实际问题转化为线性规划问题，建立数学模型是解决问题的关键。
一、线性规划模型的建立
线性规划问题是一个线性函数在一组线性条件下的极值问题。
1.线性规划问题的一般形式
其中为目标函数，求目标函数最大值或者是最小值，
约束条件为，
为决策变量，要求决策变量满足非负要求。
2.LINGO软件
LINGO： Linear Interactive and Genear Optimizer即“交互式的线性和通用优化求解器”，是一种专门用于求解最优化问题的软件。用于求解线性规划、二次规划、非线性规划，也用于一些线性和非线性方程组的求解以及代数方程求根等。LINGO软件的最大特色在于可以允许优化模型中的决策变量是整数（即整数规划），而且执行速度很快。LINGO实际上还是最优化问题的一种建模语言，包括许多常用的函数可供使用者建立优化模型时调用，并提供与其它数据文件（如文本文件、EXCEL电子表格文件、数据库文件等）的接口，易于方便地输入、求解和分析大规模最优化问题。由于这些特点， LINGO软件在教学、科研和工业、商业、服务等领域得到广泛应用。
LINGO求解线性规划模型不需要函数命令，只需要在窗口中按线性规划的自然形式输入模型，模型以max=或min=开始，LINGO已假设所有变量都是非负的，因此变量的非负约束不用输入，LINGO也不区分大小写字母，约束条件中的≤和≥可以用<和>代替，每个语句以分号结束。
二、线性规划研究的问题
线性规划研究的问题有两类：一类是如何合理地使用有限的劳动力、设备、资金等资源，得到最大的收益；另一类是为了达到一定的目标，应如何组织生产，或合理安排工艺流程，或调整产品的成分等以使消耗资源（人力、设备台时、资金、原材料等）最少。
三、应用举例
1.投资组合问题
例1某投机者有50万元可用于长期投资，可供选择的投资项目包括购买国库券、购买公司债券、投资房地产、购买股票、银行短期或长期储蓄。各种投资组合的平均年限，年收益率，风险系数，增长潜力见表1若投资者希望投资的年限不超过5年，平均的期望收益不低于13%，风险系数不超过4，收益的增长潜力不低于10%。问在满足上述条件下，投资者应该如何投资组合使平均年收益率最高？
分析：目标是投资组合年收益率最高，目标函数求最大值，年收益率最高取决于投资比例，因此投资比例是决策变量，年限不超过5年，平均的期望收益不低于13%，风险系数不超过4，收益的增长潜力不低于10%，为约束条件。
解：设xi为第种投资方式在总投资中所占比例，建立数学模型如下：
应用LINGO软件求解，按照LINGO格式要求输入：
表明国库券投资比例为48.8%，公司债券投资比例为11.6%，房地产投资比例为39.5%，其他不投资，可以使平均年收益率最高。
2.截料问题
例2：现有15米长的钢管若干，生产某产品需4米，5米，7米长钢管各为100，150，120根，问如何截取才可使原料最省？
分析：先确定15米的长钢管截成所需钢管的方法，表1给出所有截法。
第1种方法意思是1根原料截2根7米的，5米和4米没有的，余料是1米，其他类似。
解 设按第i种方法截xi根原料，i=1，2，…，7，建立数学模型如下：
模型中变量要求为整数，这个模型属于整数线性规划模型，在LINGO求解时
@gin（x）表示变量x取整数，LINGO窗口中输入的模型如下：
min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7；
2*x1+x2+x3>120；
X2+3*x4+2*x5+x6>150；
2*x3+x5+2*x6+3*x7>100；
@gin（ x1）；@gin（ x2）；@gin（ x3）；@gin（ x4）；@gin（ x5）；@gin（ x6）；@gin（ x7）；
运行结果为x1=35，x2=0，x2=50，x4=50，x5=x6=x7=0，表明第一种方法截35根，第三种方法截50根，第4种方法截50根，其它方法不用，可以满足要求且使得用料最省。
四、结束语
线性规划的模型有许多类型，除了投资组合模型，截料模型，还有生产安排模型，混合配料模型，配套生产模型，运输问题模型等，这些模型都可以用LINGO软件求解。LINGO软件求解方便，快捷。
参考文献：
[1]坚勇.运筹学基础[M].清华大学出版社，2008，3.
[2]束金龙，闻人凯.线性规划理论与模型应用[M].科学出版社.
[3]郭志军.线性规划模型的建立及Mathematica求解[J].长沙大学学报，2010（5）.
作者简介：罗 平（1983-），女，云南昆明人，硕士研究生，兴义民族师范学院数学科学学院讲师，主要从事运筹学教学。