[摘 要]解析几何课程的教学研究与改革，对于综合大学、师范院校的数学与应用数学、计算数学、概率统计以及信息与计算科学等专业的课程建设，具有重要的理论与实践价值。应扩充解析几何教学内容的理论依据的研究，增加保距变换与仿射变换内容之重要性与必要性的横向比较求证，变传统解析几何教学内容中的以直角坐标系作主要参照系为以仿射坐标系作主要参照系。同时，重新确定教学学时，并对教材教法进行适当改革。
[关键词]解析几何 教材教法 教学改革 教学内容 教学大纲
[中图分类号] G642.0 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2013）11-0109-02
解析几何在数学专业的基础课程中具有十分重要的地位，解析几何课程的教学研究与改革，对于综合大学、师范院校的数学与应用数学、计算数学、概率统计以及信息与计算科学等专业的课程建设，具有重要的理论与实践价值。我校自三年前立项《解析几何课程建设的系统教学研究》，深入多届应用数学专业的学生和其他任课教师中进行调查研究，了解学生学习解析几何课程的感受及体会，收集教学反馈信息，设计、实施了两次问卷调查作研讨求证，取得了丰硕的教改成果。本文仅将其主要的结论作简略介绍。
一、关于改革解析几何教学内容的研究
增加保距变换（亦称正交变换）与仿射变换，在教学学时允许的情况下，再增加射影几何初步内容。其理由基于如下两方面的论证。
（一）扩充解析几何教学内容的理论依据的研究
1.由于综合大学的应用、计算数学等专业在其课程设置中，往往不另开设高等几何（即射影几何学）课程，也不开设微分几何、几何基础和拓扑学，解析几何是开设的专业基础课中唯一的几何学，故加强解析几何的教学内容是十分必要的。
2.不学习仿射变换与保距变换，学生就只知解析几何中有坐标变换这一方面，而不了解其中另一方面的重要变换——几何变换，造成学生数学素质的一种缺陷。
3.不学习仿射变换与保距变换，就无从了解高等代数中线性变换的背景与渊源；因只知坐标变换，不知几何变换，而不能全面理解线性变换的几何意义，以及二次型的正交变换、一般的合同变换的几何意义。
4.学习仿射变换与保距变换，有助于理解数学分析中重积分的线性变量代换的几何意义并做进一步的应用，也有助于学习复变函数的解析映照并做进一步的应用。
5.保距变换与仿射变换作为最重要、最基本的实用几何变换方法，具有十分重要的可应用性。其中，关于仿射变换由三点或仿射标架所确定，及其在二标架下点坐标具有不变性；关于仿射变换的变积系数及其确定等知识与方法，显然十分重要，且能为学生进一步学好高等代数、数学分析、复变函数、泛函分析以及计算机图形学奠定充实全面的数学基础。
（二）增加保距变换与仿射变换内容之重要性与必要性的横向比较求证
在传统解析几何教学内容的基础上增加保距变换与仿射变换内容的重要性与必要性，可以通过其他院校数学专业开设的解析几何课程的教学内容，以及著名的、或使用率较高的解析几何教材的内容加以印证。
1.早在1961年，由我国著名数学家、数学教育家吴光磊、丁石孙、姜伯驹田畴等编著的教材，[1]为北京大学与众多师范院校和综合性大学的数学专业选作教材使用（20世纪60至80年代）。其内容的第9章即为正交变换与仿射变换。
2.南开大学数学系早在1978年3月所编的教材，[2]为南开大学多年作教材使用，内容包括欧氏几何与仿射几何、射影几何简介。
3.参考文献[3]和[4]，是北京大学教师所编、由北京大学出版社出版的解析几何教材（“九五”教育部重点教材），长期以来一直为北京大学数学系教学使用教材，也为众多大学选作数学专业的解析几何教材。教材[3][4]内容都包含保距变换与仿射变换、射影几何学初步。
4.由武汉大学编写并作为武汉大学本科生系列教材之数学专业基础课教材的文献[5]，其内容包括正交变换与仿射变换、射影几何。
（三）变传统解析几何教学内容中的以直角坐标系作主要参照系为以仿射坐标系作主要参照系
1.在大多数解析几何教材中，虽引进了仿射坐标系，但总是约定，非特别说明时，所采用的参照系均指直角坐标系。这样使本课程教学（学习）的结果是，学生只形成了对直角坐标的印象，只习惯于、也只会使用直角坐标系。而以仿射坐标系为参照系，无疑更自然、更方便。
2.基于以上理由，在教材编写与教学设计中，应将仿射坐标系作为基本的、一般的、普遍的参照背景或条件，即未作特别说明时，所用坐标系是一般的仿射坐标系；应首先在此一般条件下，研究图形与其他问题的具有普遍性的性质与结论（可称作仿射特征或仿射性质），之后，作为补充、特殊情况或进一步研究，再在特殊的仿射坐标系——直角坐标系下，研究图形与问题的性质与结论（可称作度量特征或度量性质）。
3.为明确区别起见，将基本的、作为一般研究环境的仿射坐标系及其标架，均用标架[O；■，■，■]来表示，而将问题研究的特殊环境的直角坐标系及其标架用标架[O；■，■，■]来表示，以示区分。
二、关于解析几何课程所需教学学时量的研究与确定
我校自2000年起开设数学专业基础课解析几何以来，至2005年，所用教材为参考文献[6]，内容主要是空间解析几何与平面圆锥曲线的一般讨论，采用56学时制和64学时制教学。自2006级起至今，增加了保距变换与仿射变换的教学内容，采用56学时制教学。通过对三个年级（应数1001-1201）学生的问卷调查结果进行分析，基于学习解析几何的感受（56学时），85%的学生认为学时不足，应增加教学课时，多数人倾向于增加8学时，即增加至64学时。
三、关于解析几何在三门数学基础课中开设先后次序的分析研究
大学数学与应用数学专业基础课之数学分析、高等代数和解析几何开课时间上的先后次序，在教学实践中我校一直是三门课都在大一第一学期同时平行开设。解析几何主要是有代数方法研究几何图形的数学。解析几何知识体系的形成以及对问题的分析、推理、论证、计算与求解低速低效，还要补充学习部分简单的高等代数（主要是行列式、矩阵和线性方程组）的知识与方法，这大大影响了学生学习的效率与效果。事实上，学习解析几何所需的高等代数知识与方法较多，涉及高等代数前五至六章的内容。学生普遍认为高等代数须先于解析几何开课，为解析几何预备行列式、矩阵、线性方程组等必备的代数基础，提供高效、快捷、实用的代数方法或工具，再开设解析几何才更科学合理。
四、关于解析几何课程教学大纲与教学日历的修订
解析几何课程教学大纲与教学日历的修订需围绕着前述一至三点进行，依其结论为据，既要适应其要求，又须达到其目标。按已先修过必要的高等代数的知识与方法的前提条件（参见本文第三点），取消补充部分线性代数知识与方法的相关教学内容、教学要求等，并依据学生具备这样的数学基础与知识结构，修订课程的教学要求、教学设计，以及各部分内容分别所需的恰当的教学时间量，使学时的安排分配更科学合理。按解析几何课程总的教学时间为64学时制，重新设计安排分配各章节所有教学学时，修订教学大纲与教学日历。
五、关于解析几何教材教法的改革设计
将仿射坐标系作为主要的基本的参照系，在此前提条件下，组织、建立解析几何内容体系，设计教材与教法。基于解析几何与高等代数开设时序的改革设计，高等代数先于解析几何在一至二学期开设，此时学生已具备基本的线性代数知识、方法与能力，故我们的解析几何教学设计与教法，可以充分利用代数的矩阵、行列式、线性方程组等符号、语言、方法作为工具、手段，进行表示、描述、推导与运算，充分体现解析几何是以代数方法研究几何的方法论特征。用数学思想方法组织解析几何的理论体系与结构，使该学科知识主线有秩序化、理论性的清晰结构，凸显数学美学特征。
在项目结题总结中，逐章逐节给出了具体教学设计，包括如增加向量的平行六面体法则与多边形法则，引用向量的线性相关与线性表出概念，给出一至四个三维向量线性相关的几何意义的四个结论，强化简单比的概念和作用，对曲线曲面的方程的概念采用“自下而上”的方式教学，而对柱面、锥面、旋转面方程则采用“自上而下”的方式教学，在一般二次曲线的仿射性质的研究中，引入虚“元素”并凸显其几何意义与作用。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 吴光磊等编.解析几何[M].北京：人民教育出版社，1961.
[2] 南开大学数学系编.空间解析几何引论[M].北京：人民教育出版社，1978.
[3] 丘维声编.解析几何[M].北京：北京大学出版社，1996.
[4] 尤承业编.解析几何[M].北京：北京大学出版社，2004.
[5] 杨文茂，李全英编.空间解析几何[M].武汉：武汉大学出版社，1997.
[6] 江苏师范学院数学系编.解析几何[M].北京：人民教育出版社，1960.
[责任编辑：刘凤华]